Конвей группа - Conway group

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Конвей группы три спорадические простые группы Co₁, Co₂ и Co₃ вместе с связанной конечной группой Co₀ представлен (Конвей  1968, 1969 ).

Самая большая из групп Конвея, Co₀, это группа автоморфизмов из Решетка пиявки Λ по сложению и внутренний продукт. Она имеет порядок

8,315,553,613,086,720,000

но это не простая группа. Простая группа Co₁ порядка

4,157,776,806,543,360,000

определяется как частное от Co₀ своим центр, состоящий из скалярных матриц ± 1.

В внутренний продукт на решетке пиявки определяется как 1/8 сумма продуктов соответствующих координат двух векторов множимого; это целое число. В квадратная норма вектора - это его внутренний продукт с самим собой, всегда четное целое число. Обычно говорят о тип вектора решетки Пиявки: половина квадрата нормы. Подгруппы часто называют со ссылкой на типы соответствующих фиксированных точек. В этой решетке нет векторов типа 1.

Группы Co₂ (порядка 42,305,421,312,000) и Co₃ (порядка 495,766,656,000) состоят из автоморфизмов Λ, фиксирующих вектор решетки типа 2 и вектор типа 3 соответственно. Поскольку скаляр −1 не фиксирует ненулевой вектор, эти две группы изоморфны подгруппам Co₁.

История

Томас Томпсон (1983 ) описывает, как Джон Лич около 1964 г. исследовал плотные упаковки сфер в евклидовых пространствах большой размерности. Одним из открытий Лича была упаковка решетки в 24-мерном пространстве, основанная на том, что впоследствии было названо решеткой Пиявки Λ. Он задавался вопросом, содержит ли группа симметрии его решетки интересную простую группу, но чувствовал, что ему нужна помощь кого-то, кто лучше знаком с теорией групп. Ему пришлось много расспрашивать, потому что математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился посмотреть на проблему. Джон Г. Томпсон сказал, что ему было бы интересно, если бы ему дали приказ группы. Конвей рассчитывал потратить месяцы или годы на решение проблемы, но нашел результаты всего за несколько сеансов.

Витт (1998, стр. 329) заявил, что он нашел решетку Пиявки в 1940 году, и намекнул, что он вычислил порядок ее группы автоморфизмов Co₀.

Мономиальная подгруппа N группы Co₀

Конвей начал расследование Co₀ с подгруппой он назвал N, а голоморф из (расширенного) двоичный код Голея (в качестве диагональные матрицы с 1 или −1 в качестве диагональных элементов) на Матьё группа М₂₄ (в качестве матрицы перестановок ). N ≈ 2¹²: M₂₄.

Стандарт представление Используемый в этой статье двоичный код Голея упорядочивает 24 координаты так, чтобы 6 последовательных блоков (тетрад) из 4 составляли секстет.

Матрицы Co₀ находятся ортогональный; я. е., они оставляют внутренний продукт неизменным. В обратный это транспонировать. Co₀ не имеет матриц детерминант −1.

Решетку Пиявки легко определить как Z-модуль порожденная множеством Λ₂ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0²²)

(2⁸, 0¹⁶)

(−3, 1²³)

и их изображения под N. Λ₂ под N попадает в 3 орбиты размеров 1,104, 97,152, и 98,304.Потом |Λ₂| = 196,560 = 2⁴⋅3³⋅5⋅7⋅13. Конвей сильно подозревал, что Ко₀ был переходный на Λ₂, и действительно он нашел новую матрицу, а не одночлен а не целочисленная матрица.

Позволять η - матрица 4 на 4

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

Пусть теперь ζ - блочная сумма шести матриц: нечетные числа каждой из η и -η.^[1][2] ζ это симметричный и ортогональная матрица, таким образом, инволюция. Некоторые эксперименты показывают, что он меняет местами векторы между разными орбитами N.

Вычислить | Co₀| лучше всего рассматривать Λ₄, множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является одним из ровно 48 векторов типа 4, конгруэнтных друг другу по модулю 2Λ, попадающих в 24 ортогональные пары {v, –v}. Набор из 48 таких векторов называется Рамка или же Пересекать. N имеет как орбита стандартный фрейм из 48 векторов формы (± 8, 0²³). Подгруппа, фиксирующая данный фрейм, является сопрягать из N. Группа 2¹², изоморфный коду Голея, действует как изменение знака на векторах кадра, в то время как M₂₄ переставляет 24 пары кадра. Co₀ можно показать как переходный на Λ₄. Конвей умножил порядок на 2¹²| M₂₄| из N по количеству кадров, последний равен частному |Λ₄|/48 = 8,252,375 = 3⁶⋅5³⋅7⋅13. Этот продукт является заказом любой подгруппа Co₀ который должным образом содержит N; следовательно N является максимальной подгруппой в Co₀ и содержит 2-силовские подгруппы в Co₀. N также является подгруппой в Co₀ всех матриц с целочисленными компонентами.

Поскольку Λ содержит векторы вида (±8, 0²³), Co₀ состоит из рациональных матриц, все знаменатели которых делятся на 8.

Наименьшее нетривиальное представление Co₀ над любым полем 24-мерное поле исходит из решетки Лича, и это точно над полями характеристики, отличной от 2.

Инволюции в Co₀

Любой инволюция в Ко₀ можно показать как сопрягать элементу кода Голея. Co₀ имеет 4 класса сопряженности инволюций.

Матрица перестановок формы 2¹² можно показать, что они сопряжены с додекада. Его центратор имеет вид 2¹²: M₁₂ и имеет сопряженные внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица из этого класса сопряженности имеет трассу 0.

Матрица перестановок формы 2⁸1⁸ можно показать, что они сопряжены с октада; он имеет след 8. Этот и его отрицательный элемент (след −8) имеют общий централизатор вида (2¹⁺⁸× 2) .O₈⁺(2), максимальная в Co подгруппа₀.

Группы подрешеток

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно открытых спорадических простых группы, описанные в трудах конференций (Брауэр и Сах, 1969 ), были изоморфны подгруппам или факторам подгрупп Co₀.

Сам Конвей использовал обозначения для стабилизаторов точек и подпространств, где он ставил точку. Исключительные были .0 и .1, будучи Co₀ и Ко₁. Для целого числа п ≥ 2 позволять .n обозначим стабилизатор точки типа п (см. выше) в решетке пиявки.

Затем Конвей назвал стабилизаторы плоскостей, определяемых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Позволять .hkl - поточечный стабилизатор треугольника с ребрами (разностями вершин) типов час, k и л. Треугольник обычно называют h-k-l треугольник. В простейших случаях Co₀ транзитивна на рассматриваемых точках или треугольниках, а группы стабилизаторов определены с точностью до сопряженности.

Конвей идентифицировал .322 с Группа Маклафлина McL (заказ 898,128,000) и .332 с Группа Хигмана – Симса HS (заказ 44,352,000); оба они были недавно обнаружены.

Вот таблица^[3][4] некоторых групп подрешеток:

Имя	Заказ	Структура	Примеры вершин
•2	2^18 3^6 5^3 7 11 23	Co2	(−3, 1^23)
•3	2^10 3^7 5^3 7 11 23	Co3	(5, 1^23)
•4	2^18 3^2 5 7 11 23	2^11: M23	(8, 0^23)
•222	2^15 3^6 5 7 11	БП6(2) ≈ Fi21	(4, −4, 0^22), (0, −4, 4, 0^21)
•322	2^7 3^6 5^3 7 11	McL	(5, 1^23),(4, 4, 0^22)
•332	2^9 3^2 5^3 7 11	HS	(5, 1^23), (4, −4, 0^22)
•333	2^4 3^7 5 11	3^5 M11	(5, 1^23), (0, 2^12, 0^11)
•422	2^17 3^2 5 7 11	2^10: M22	(8, 0^23), (4, 4, 0^22)
•432	2^7 3^2 5 7 11 23	M23	(8, 0^23), (5, 1^23)
•433	2^10 3^2 5 7	2^4.A8	(8, 0^23), (4, 2^7, −2, 0^15)
•442	2^12 3^2 5 7	2^1+8.A7	(8, 0^23), (6, −2^7, 0^16)
•443	2^7 3^2 5 7	M21: 2 ≈ PSL3(4):2	(8, 0^23), (5, −3, −3, 1^21)

Две другие спорадические группы

Две спорадические подгруппы могут быть определены как факторы стабилизаторов структур на решетке Лича. Идентификация р²⁴ с C¹² и Λ с

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

полученная группа автоморфизмов (т. е. группа решеточных автоморфизмов Лича, сохраняющих сложная структура ) при делении на группу из шести элементов комплексных скалярных матриц дает Группа Сузуки Сузь (заказ 448,345,497,600). Эта группа была обнаружена Мичио Сузуки в 1968 г.

Аналогичная конструкция дает Холл – Янко группа J₂ (порядок 604,800) как фактор группы кватернионный автоморфизмы Λ группой скаляров ± 1.

Семь простых групп, описанных выше, составляют то, что Роберт Грисс называет второе поколение счастливой семьи, который состоит из 20 спорадических простых групп, обнаруженных в Группа монстров. Некоторые из семи групп содержат хотя бы часть из пяти Матье группы, которые составляют первое поколение.

Сеть товарных групп Suzuki

Co₀ имеет 4 класса сопряженности элементов порядка 3. В M₂₄ элемент формы 3⁸ порождает нормаль группы в копии S₃, который коммутирует с простой подгруппой порядка 168. A прямой продукт PSL (2,7) × S₃ в M₂₄ переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальную подгруппу. В Ко₀ этот мономиальный нормализатор 2⁴: PSL (2,7) × S₃ раскладывается до максимальной подгруппы вида 2.А₉ × S₃, где 2.A₉ - двойное покрытие знакопеременной группы A₉.

Джон Томпсон указал, что было бы полезно исследовать нормализаторы меньших подгрупп вида 2.A._п (Конвей 1971, п. 242). Несколько других максимальных подгрупп группы Co₀ находятся таким образом. Более того, в полученной цепочке появляются две спорадические группы.

Есть подгруппа 2.А₈ × S₄, единственная из этой цепочки, не максимальная в Co₀. Далее идет подгруппа (2.A₇ × PSL₂(7)):2. Далее идет (2.A₆ × SU₃(3)):2. Унитарная группа SU₃(3) (заказ 6,048) имеет граф из 36 вершин в ожидании следующей подгруппы. Эта подгруппа (2.A₅ o 2.HJ): 2, в которой Холл – Янко группа Появляется HJ. Вышеупомянутый график расширяется до График Холла – Янко, со 100 вершинами. Далее идет (2.A₄ o 2.G₂(4)):2, ГРАММ₂(4) быть исключительным группа лиева типа.

Цепочка заканчивается 6. Suz: 2 (Suz =Suzuki спорадическая группа ), который, как упоминалось выше, уважает сложное представление решетки пиявки.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона имеет вид ${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$ = {1, 0, 276, −2,048, 11,202, −49,152, …} (OEIS: A007246) и ${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$ = {1, 0, 276, 2,048, 11,202, 49,152, …} (OEIS: A097340) где можно задать постоянный член а (0) = 24,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и η(τ) это Функция Дедекинда эта.

Рекомендации

1. Грисс, стр. 97.
2. Томас Томпсон, стр. 148–152.
3. Конвей и Слоан (1999), стр. 291
4. Грисс (1998), стр. 126

• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 61 (2): 398–400, Дои:10.1073 / пнас.61.2.398, МИСТЕР  0237634, ЧВК  225171, PMID  16591697
• Брауэр, Р.; Сах, Чих-хан, ред. (1969), Теория конечных групп: симпозиум, W. A. ​​Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, МИСТЕР  0240186
• Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8,315,553,613,086,720,000», Бюллетень Лондонского математического общества, 1: 79–88, Дои:10.1112 / blms / 1.1.79, ISSN  0024-6093, МИСТЕР  0248216
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», у Пауэлла, М.Б .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Атлас представлений конечных групп: Co₁ версия 2
• Атлас представлений конечных групп: Co₁ версия 3
• Уилсон, Роберт А. (1983), "Максимальные подгруппы группы Конвея Co₁", Журнал алгебры, 85 (1): 144–165, Дои:10.1016/0021-8693(83)90122-9, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0723071
• Уилсон, Роберт А. (1988), "О 3-локальных подгруппах группы Конвея Co₁", Журнал алгебры, 113 (1): 261–262, Дои:10.1016/0021-8693(88)90192-5, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0928064
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы., Тексты для выпускников по математике 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN  978-3-540-57061-5, МИСТЕР  1643949
• Р. Т. Кертис и Б. Т. Фэйрберн (2009), «Симметричное представление элементов группы Конвея .0», Журнал символических вычислений, 44: 1044-1067.

внешняя ссылка