Формула порядка Томпсона - Thompson order formula

В математике конечный теория групп, то Формула порядка Томпсона, представлен Джон Григгс Томпсон (Проведено 1969 г., с.279), дает формулу для порядок конечной группы в терминах централизаторов инволюций, обобщая результаты Брауэр и Фаулер (1955).

Заявление

Если конечная группа грамм имеет ровно два класса сопряженных инволюций с представителями т и z, то формула порядка Томпсона (Ашбахер 2000, 45.6) (Сузуки 1986, 5.1.7) состояния

{ Displaystyle | G | = | C_ {g} (z) | a (t) + | C_ {g} (t) | a (z)}

Здесь а(Икс) - количество пар (ты,v) с ты сопрягать с т, v сопрягать с z, и Икс в подгруппе, порожденной УФ.

Харрис (1972), 3.10) дает следующий более сложный вариант формулы порядка Томпсона для случая, когда грамм имеет более двух классов инволюции сопряженности.

{ Displaystyle | G | = C_ {G} (t) C_ {G} (z) sum _ {x} { frac {a (x)} {C_ {G} (x)}}}

куда т и z являются несопряженными инволюциями, сумма берется по множеству представителей Икс для классов сопряженности инволюций и а(Икс) - количество упорядоченных пар инволюций ты,v такой, что ты сопряжен с т, v сопряжен с z, и Икс инволюция в подгруппе, порожденная tz.

Доказательство

Формулу порядка Томпсона можно переписать как

{ displaystyle { frac {| G |} {C_ {G} (z)}} { frac {| G |} {C_ {G} (t)}} = sum _ {x} a (x) { frac {| G |} {C_ {G} (x)}}}

где по-прежнему сумма превышает набор представителей Икс для классов инволюций. левая часть - количество пар на инволюциях (ты,v) с ты сопрягать с т, v сопрягать с z. Правая часть считает эти пары по классам в зависимости от класса инволюции в циклической группе, порожденной УФ. Ключевым моментом является то, что УФ имеет четный порядок (как если бы он был нечетным, то ты и v будет сопряженным), и поэтому генерируемая им группа содержит уникальную инволюцию Икс.

Формула порядка Томпсона - Thompson order formula

Заявление

Доказательство

Рекомендации